I Origine

L'algebre de Bool est du au logicien mathematicien et philosophe britanique George Bool (1815-1864) En 1847 , puis 1854 , ce scientifique publie les bases de ce qu'on appelle aujourd'hui l'alegbre de Boole . Son interet dst de tarduire des idées en concepts en équation , leur appliquer certaines lois et retraduire le résulatat en terme logiques , n'acceptant pas que des valeur numerique : 0 et 1 (Faux ou Vrais) . L'importance de son travail est dans de nombreux travail est dans de nombreux domaines ( théorie des probabilités, circuits téléphonique , hdroliques ..) Dont l'informatique .

II Définition

Un booleen est un type de variable a 2 étape : Vrais (True)(1) et Faux (False)(0)

Un booléen peut être le résultat d'un comparaison , il s'agit alors d'un test. Si le test est valide , le résultat est alors Vrai ( True sous Python). Dans le cas contraire , le résulat est Faux . (False sous Python)

Exemple

N = 13 print(N > 12) L'interpreteur affiche True

N = 13 print(N < 12) L'interpreteur affiche False

Les operateurs de comparaisons que nous utiliserons sont :

Opérateur	Signification
<	strictement inférieur
<=	inférieur ou égal
>	strictement supérieur
=>	supérieur ou égal
==	égal
!=	différent

III Operateur et tables de vérités

Operateur "et" : L'operateur "and" permet de tester si deux booleens sont vrais : "a and b " a pour résultat True si et seulement si o est vrais et b est vrai. Sa table de vérité est la suivante :

a	b	a and b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Remarques :

• matématiquement le résultat est donné par intersaction
• cette operation booléenne est appelée "conjonction"

Exemple : La variable booléenne AmpouleOK représente le fait qu'une ampoule est en état de fonctionnement , la variable booléenne InterrupeteurOn est vrais si l'interupteur controlant cette ampoule est en position "on" La varialble booléene LUmièreAllumée represente le fait que la lumière est allumée.

Alors : LumièreAllumée = AmpouleOk and InterupteurON

Operateur "ou" : L'operateur "or" permet de tester si l'un des deux booléens est au moins vrai : "a or b" a pour résultat True et si seulement si au moins un des deux booléens a ou b est vrai . Sa table de vérité est la suivante :

a	b	a or b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Remarques :

• Cette operation booléenne est appelée "disjonction"

Exemple : La variable booléenne AmpoleHS represente le fait qu'une ampoule n'est pas en état de fonctionnement , la variable booléenne InterupteurOff est vrais si l'interupteur controlant est en position "off" La variable booléenne LumièreEteinte represente le fait que la lumière est éteinte .

Alors Lumière Eteinte = InterupteurOff or AmpouleHS

Operateur "non" : L'operateur "not" retourne le booléen opposé . Sa talbe de vérité est la suivante

a	not a
0	1
1	0

Remarques :

• cette operateur boooléenne est appelée "négation"

Exemples :

La variable booléenne EauSolide represente le fait que l'eau est sous forme de glace , la variable TemperaturePositive est vrai si la temprature de l'eau est positive .

Alors : Temperature Positive : not EauSolide Eau Solide : not TemperaturePositive

Operateur "ou exclusif" l'operateur "xor" permet de tester si et seulement l'un des deux booléens est vrai : "a xor b " a pour résultat True si et seulement l'un des deux des booléens est vrai: "a xor b" a pour résultat True si et seulement si un des des booléens a ou b est vrais et l'autre faux . Sa table de vérité la suivante :

a	b	a xor b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Exemples :

Deux interupteur va et viens controle la lumière d'un pice , pour qu'elle soit alumée . La variable booléenne VaEtViens1_ON represente le fait que l'interupteur va et vient n°1 est en position "on".La variable booléenne VaEtVient2_ON represente le fait que l'interupteur va et viens n°2 est en position "on" EtatLumière est vraie si la lumière est alumée

Alors : ÉtatLumière = VaEtVient1 xor VaEtVient2