Nombre dérivé et tangente

Definition : Soit f une fonction et a un réel du domaine de definition de f. Le nombre dérivé de f en a note f'(a) est le nombre :

$\raisebox{1ex}{$\frac{\mathrm{f(x)-f(a)}}{\mathrm{x-a}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.$

Remarque :

1. On supose que la limite précédente existe ( ce qui n'est pas toujours le cas !) On dit alors que f dérivable en a
2. Autre version , en posant x = a + h : f'(a) lim -> $\raisebox{1ex}{$\frac{\mathrm{f(a+h)-f(a)}}{h}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.$

Interpretation graphique : Dans la situation precedente , on considere les point A(a;f(a)) et M(a+h;f(a+h)),alors le quotien $\raisebox{1ex}{$\frac{\mathrm{f(a+h)-f(a)}}{h}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.$ represente le coef directeur de (AM) lorsque h tend vers 0 M se rapproche de ... et la droite (AM) se "raproche" d'une droite appelée la tangant à f en a

Définition : Soit une fonction definie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a appartenant à I . A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe representative f

La tangente à la courbe f au point A est la droite passant par A de coef directeur le nombre dérivé f'(a)

Propriété Une équation de la tangente à la courbe f en A est y = f'(a) * (x-a) + f(a)

Calculs de dérivées

1. Formule de dérivation des fonction usuelles

Propriété (admise) les fonctions usuelles (fonction affines , fonction polynome du 2nd degré , fonction inverse , fonction racine , fonction exponentielle ) sont dérivable sur leur domaine de definition et on a les formules suivante :

Fonction f	Ensemble de définition de f	Dérivée f'	Ensemble de définition de f'
f(x) = a, a ∈ ℝ	ℝ	0	ℝ
f(x) = x	ℝ	1	ℝ
f(x) = x²	ℝ	2x	ℝ
f(x) = xⁿ, n ∈ ℕ	ℝ	nxⁿ⁻¹	ℝ
f(x) = 1/xⁿ	ℝ*	-n/xⁿ⁺¹	ℝ*
f(x) = √x	ℝ⁺	1/(2√x)	ℝ*⁺
f(x) = e^x	ℝ	e^x	ℝ
f(x) = cos(x)	ℝ	-sin(x)	ℝ
f(x) = sin(x)	ℝ	cos(x)	ℝ
f(x) = ln(x)	ℝ*⁺	1/x	ℝ*⁺

Formule de derivation par operation de fonction usuelles

Propriete (admise) les fonctions obtenues par operations (Somme , multiplication par un réel multiplication de fraction , quotient , composition ) et on a les formules suivantes

f	f'
u + v	u' + v'
u * v	u'v + uv'
k * v (k ∈ ℝ)	k * v'
u / v	(u'v - uv') / v²
1 / uⁿ	-n u⁻ⁿ⁻¹ u'
uⁿ	n uⁿ⁻¹ u'
√u	u' / (2√u)
eu	u' eu
cos(u)	-u' sin(u)
sin(u)	u' cos(u)
ln(u)	u' / u

Composition d'une fonction

Definition : Soit u une fonction défini sur un intervalle I et soit V une fonction definie sur intervalle J tel que u(I) ∈ J . On appelle fonction composée de u suivie de v de la fonction notée V∘U definie sur I par V∘U(x) = V(U(x))

Fonction convexes,fonction concave

Definition et caracteristique

Shema a réaliser

Definition:

• Une fonction f est dite convexe sur un intervalle I si elle se situe entièrement sous ses cordes

• Une fonction f est dite concave sur un intervalle I si elle se situe entièrement sur ses cordes

Remarque : ceci se traduit mathématiquemen par les inegalité

f convexe sur I

f(tx + (1-t)y) =< tf(x) + (1-t)f(y)

t ∈ [0;1] et x,y ∈ I

f concave sur I

f(tx + (1-t)y) >= tf(x) + (1-t)f(y)

t ∈ [0;1] et x,y ∈ I

Théoreme : Soit f une fraction definie sur l'intervalle I

• f est convexe sur I si et seulement si f' croissante sur I
• f est concave sur I si et seulement si f' decroissante sur I

Propriété 1 : SOit f une fonction definie sur un intervalle I qui est 2 fois dérivable sur I

• f est convexe sur I si et seulement si f''(x) >= 0
• f est concave sur I si et seulement si f''(x) =< 0

Propriété 2 : Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle

• f convexe si et seulement si f se situe au dessus de ses tengentes en I

• f concave si et seulement si f se situe au dessous de ses tengentes en I

Point d'inflexion

Définition Soit f une fonction définie sur l'intervalle I . Un point d'inflextion en lequel f change de convexite

Propriété : Au point d'inflextion f traverse la tengente

Théoreme Soit f une fonction definie et deux fois derivable sur un intervalle I

Le point A (a;f(a)) est un point d'inflexion pour f si et seulement si f''(x) s'annule et change de signe en a