Definition

Une suite numerique est une suite de nombre réels , c'est a dire c'est une application de N dans ||R

Notaton :

• (U_n) designe l'ensemble des termes
• U_n designe le terme de rang n

Mode de définition explicite U_n = f(n)

"Chaque terme se calcule en fonction du n"

Ex :

• U_n = 2 + 3n² = f(n) ou f(x) = 2+ 3x²
• U₀ = 2 U₁ = 5 U₁₀ = 302

2. U_n = $\raisebox{1ex}{$\frac{1}{2}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.n\; +\; 2\; =\; f(n)\; ou\; f(x)\; =$ \raisebox{1ex}{$\frac{1}{2}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.x+2$$

Remarque : On represente la suite (U_n) en plaçant les point (n,U_n)

Shema a réaliser

Mode de definition par récurence :

U_n+1 = f(U_n) "Chaque terme se calcule en fonction du precedant"

1. "Chaque terme est l'inverse du precedent"

• U_n+1 = $\raisebox{1ex}{$\frac{1}{\mathrm{U_n}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.$ $$

• U₀ = 2

U₁ = $\raisebox{1ex}{$\frac{1}{2}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.=\; 0,5$ $$

U₂ = $\raisebox{1ex}{$\frac{1}{\mathrm{0,5}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.=\; 2$ $$

U₃ = $\raisebox{1ex}{$\frac{1}{2}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.=\; 0,5$ $$

U₄ = $\raisebox{1ex}{$\frac{1}{\mathrm{0,5}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.=\; 2$ $$

• U_n+1 = U_n + 4 = f(U_n)
• U₀ = -1

U₁ = 3 U₂ = 7 U₃ = 11

3. • U_n+1 = $\raisebox{1ex}{$\frac{1}{2}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.U$_n + 2 = f(Un) $$

• U₀ = 0

U₁ = 2 U₂ = 3 U₃ = 3,5

Representation graphique

A faire

Methode :

• On trace la droite d'équation y = x
• On trace f
• On trace U₀ sur l'axe des absisses puis U₁ sur l'axe des ordonées puis on reote U₁ sur l'axe des abscisses grâce à la droite d'équation x = y et ainsi de suite ...

Cas particulier : Suite arithmetique et suite géometrique

Suite arithmetique

• Formule de récurence :

• U_n+1 = U_n + r

• U₀ est donnée

• Formule explicite :

• U_n = U₀ + n * r

• U_n = U_p + (n - p) * r

• Sommes des terme successifs (U0 + U1 + .... + Un):

• (n+1)$\raisebox{1ex}{$\frac{\mathrm{U₀\; +\; U_n}}{2}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.$ $$

Suite géometrique

• Formule de récurence :

• V_n+1 = V_n * q

• V₀ est donnée

• Formule explicite :

• V_n = U₀ * qⁿ

• V_n = U_p + (n - p) * r

• Sommes des terme successifs (V0 x V1 x .... x Un):

• V₀$\raisebox{1ex}{$\frac{\mathrm{1-qⁿ⁺¹}}{\mathrm{1-q}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.$ $$

• Formule générale = V_{n = Vp * V^n-p}

2 Le raisonnement par récurence

Soit n un entier naturel et V_n une propriete à démontrer

Initialisation :

"On montrer que P₀ est vrai ..."

Cas ou P_n "A_n = B_n" : On calcule A₀ d'une part et B₀ d'une autre par et on verifie que les quantités sont égales

Cas ou P_n "A_n < B_n" : On calcule A₀ est on verifie que l'inegalité est vérifier

Heredité : "Pour un certain entier k on suppose que P_k est vrai"

c'est a dire A_k = B_k alors on doit démontrer que P_k+1 l'est aussi c'est a dire que A_k+1 = B_k+1

Cas où P_n "A_n = B_n : Généralement on part de A_k+1 pour arriver à B_k+1 en utilisant l'HR et les éventuelles données de l'énoncé

cas P_n "A_n < B_n : Généralement on part de l'HR pour arriver à P_k+1 en détaillant les operation en justifiant le sens l'inegalité a chaque étape .

Conclusion "P_n est initialisée et héréditaire donc P_n vrai pour tout entier n"

Remarque : Une demonstration par recurence est bien indiquer lorsque l'on veut demontrer une assertion qui depent d'un entier

!! Il existe des propriété Initialisation mais non hereditaire et Hereditaire mais non Initialiser !!